STRUMENTI PER CAPIRE: PROGRAMMAZIONE LINEARE

 Il giovane era un innovatore vulcanico. Aveva modernizzato l’industria di famiglia puntando su qualità e design. L’azienda era cresciuta molto. Il suo nuovo stile aveva permeato anche l’architettura, i servizi sociali, la cultura d’azienda. Era il personaggio di un romanzo di Natalia Ginsburg: “Le voci della sera” e sembrava ispirato alla figura romanzesca di Adriano Olivetti Quel presidente-innovatore si era anche appassionato della programmazione lineare e me parlava spessissimo. Su questo, però, la scrittrice diceva poco. Si limitava a qualche vaga similitudine. È un peccato perché si tratta di uno strumento utile e abbastanza facile da capire. Lo racconto qui di seguito. Ci vuole un po’ di pazienza e di conoscenza dell’algebra (anche di geometria analitica elementare), ma ne vale la pena. È uno strumento che può risultare utile nei settori e nei mestieri più disparati

La programmazione lineare è una procedura usata per massimizzare o minimizzare una funzione di primo grado (lineare), come ad esempio un polinomio, di certe variabili che non possono prendere valori negativi e che devono soddisfare un certo insieme di diseguaglianze. Qui mi limito a darne un semplice esempio.

Supponiamo che una fabbrica produca ogni giorno due prodotti X e Y. Ogni pezzo di X dà un profitto di 200 €. Ogni Y dà un profitto di 500 €. Il  numero di pezzi X (chiamato x) non  può superare 400 unità al  giorno.

Il numero  di pezzi  Y (chiamato  y)  non può  superare 500  unità  al  giorno. In totale non si possono produrre più di 700  pezzi al  giorno  (fra X  e Y).  Dunque  vogliamo massimizzare  la  funzione  lineare  che  rappresenta il profitto totale

P = 200 x + 500 y

con i vincoli

(x + y) £. 700,      x £ 400,       y £ 500

Il problema può  essere affrontato  graficamente come nel  diagramma  a pagina seguente. Le limitazioni citate indicano che le coppie di  valori x e y ammesse definiscono  un punto nel  piano x, y  contenuto entro  il poligono 0ABCD.  I punti  devono  essere contenuti  nel  primo  quadrante perchè x  e y  devono  essere positivi  (non possiamo produrre numeri negativi di unità).   Devono essere al disotto della retta  orizzontale   y = 500 , a sinistra della retta verticale  x = 400  e sotto  la   retta    x + y = 700 che è inclinata a 45° e unisce i punti  (0, 700)  e  (700, 0)

Se il profitto è zero, P = 0  la funzione lineare scritta sopra è rappresentata dalla retta di equazione  

200 x + 500 y = 0

Per  valori positivi di  P tutte  le rette di equazione  P = 200 x + 500 y sono parallele a quella per P = 0  e site più in alto di essa.

Allora la soluzione del problema si trova spostando parallelamente a  se stessa  la  retta   200 x + 500 y = 0  fino a trovare la posizione  più lontana da quella originale e che contenga almeno un punto del  poligono  nero. È ovvio dal diagramma che il punto cercato è l' intersezione B  fra le rette

y = 500          e             (x + y) = 700,

le cui coordinate sono (200, 500).

È facile vedere che la  parallela alla retta  200  x + 500 y =  0   che  passa per il punto   B (200, 500) ha equazione:

200 x + 500 y = 200 . 200 + 500 . 500 = 40.000 + 250.000 = 290.000 €

ed è rappresentata in figura. Questo risolve il problema. Ogni giorno la fabbrica deve produrre  200 X e 500 Y, ottenendo così il massimo profitto possibile di 290.000  €.

Facciamo un semplice controllo. Se producessimo di nuovo 700 pezzi in tutto: ma suddivisi in   400 X    e    300 Y,  il punto rappresentativo di questa scelta è    C (400, 300)  e il profitto corrispondente sarebbe

200 x + 500 y = 200 . 400 + 500 . 300 = 80.000 + 150.000 = 230.000 €

inferiore al massimo calcolato sopra.

Naturalmente la programmazione lineare comprende  strumenti e  obiettivi ben più vasti del modesto esempio presentato qui. Una teoria più completa, con esempi, si trova facilmente cercando su Google: “programmazione lineare” (in inglese “linear programming”.